Don-stroitel.ru

Все о ремонте
19 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Что такое откос конуса

Что такое откос конуса

ТИПОВАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА (ТТК)

УКРЕПЛЕНИЕ ПОДМОСТОВЫХ КОНУСОВ И ОТКОСОВ ПОДХОДНЫХ НАСЫПЕЙ К МОСТОВОМУ ПЕРЕХОДУ МАТРАЦАМИ РЕНО

I. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

1.1. Типовая технологическая карта (именуемая далее по тексту ТТК) — комплексный организационно-технологический документ, разработанный на основе методов научной организации труда, предназначенный для использования при разработке Проектов производства работ (ППР), Проектов организации строительства (ПОС) и другой организационно-технологической документации в строительстве.

ТТК может использоваться для правильной организации труда на строительном объекте, определения состава производственных операций, наиболее современных средств механизации и способов выполнения работ по конкретно заданной технологии.

ТТК является составной частью Проектов производства работ (далее по тексту — ППР) и используется в составе ППР согласно МДС 12-81.2007.

1.2. В настоящей ТТК приведены указания по организации и технологии производства дорожно-строительных работ по укреплению подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено".

Определен состав производственных операций, требования к контролю качества и приемке работ, плановая трудоемкость работ, трудовые, производственные и материальные ресурсы, мероприятия по промышленной безопасности и охране труда.

1.3. Нормативной базой для разработки технологической карты являются:

— строительные нормы и правила (СНиП, СН, СП);

— заводские инструкции и технические условия (ТУ);

— нормы и расценки на строительно-монтажные работы (ГЭСН-2001 ЕНиР);

— производственные нормы расхода материалов (НПРМ);

— местные прогрессивные нормы и расценки, нормы затрат труда, нормы расхода материально-технических ресурсов.

1.4. Цель создания ТТК — описание решений по организации и технологии производства дорожно-строительных работ по укреплению подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено", с целью обеспечения их высокого качества, а также:

— снижение себестоимости работ;

— сокращение продолжительности строительства;

— обеспечение безопасности выполняемых работ;

— организация ритмичной работы;

— рациональное использование трудовых ресурсов и машин;

— унификация технологических решений.

1.5. На базе ТТК в составе ППР (как обязательные составляющие Проекта производства работ) разрабатываются Рабочие технологические карты (РТК) на выполнение отдельных видов строительно-монтажных работ (СП 48.13330.2011. "Организация строительства. Актуализированная редакция СНиП 12-01-2004") по укреплению подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено".

Конструктивные особенности их выполнения решаются в каждом конкретном случае Рабочим проектом. Состав и степень детализации материалов, разрабатываемых в РТК, устанавливаются соответствующей подрядной строительной организацией, исходя из специфики и объема выполняемых работ.

РТК рассматриваются и утверждаются в составе ППР руководителем Генеральной подрядной строительной организации.

1.6. ТТК можно привязать к конкретному объекту и условиям строительства. Этот процесс состоит в уточнении объемов работ, средств механизации, потребности в трудовых и материально-технических ресурсах.

Порядок привязки ТТК к местным условиям:

— рассмотрение материалов карты и выбор искомого варианта;

— проверка соответствия исходных данных (объемов работ, норм времени, марок и типов механизмов, применяемых строительных материалов, состава звена рабочих) принятому варианту;

— корректировка объемов работ в соответствии с избранным вариантом производства работ и конкретным проектным решением;

— пересчёт калькуляции, технико-экономических показателей, потребности в машинах, механизмах, инструментах и материально-технических ресурсах применительно к избранному варианту;

— оформление графической части с конкретной привязкой механизмов, оборудования и приспособлений в соответствии с их фактическими габаритами.

1.7. Типовая технологическая карта разработана для нового строительства и предназначена для инженерно-технических работников (производителей работ, мастеров) и рабочих, выполняющих работы во II-й дорожно-климатической зоне, с целью ознакомления (обучения) их с правилами производства дорожно-строительных работ по укреплению подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено", с применением наиболее современных средств механизации, прогрессивных конструкций и способов выполнения работ.

Технологическая карта разработана на следующие объёмы работ:

— укрепление конусов и откосов насыпи матрацами "Рено" — 100 м .

Рис.1. Схема укрепления подмостовых конусов матрацами "Рено"

Рис.2. Схема укрепления откосов подходных насыпей матрацами "Рено"

II. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

2.1. Технологическая карта разработана на комплекс дорожно-строительных работ по укреплению подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено".

2.2. Работы по укреплению подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено" выполняются в одну смену, продолжительность рабочего времени в течение смены составляет:

час.

2.3. В состав работ, последовательно выполняемых при укреплении подмостовых конусов и откосов подходных насыпей автомобильной дороги к мостовому переходу матрацами "Рено", входят следующие технологические операции:

— разработка траншеи под упорную призму;

— устройства упорной призмы из монолитной бетонной смеси у подмостовых конусов;

— устройство монолитных участков укрепления на подмостовых конусах;

— устройство обратного фильтра из геотекстильного материала;

Читайте так же:
Гидроизоляция подвала технология

— укрепление конусов и откосов насыпи матрацами Рено;

2.4. Технологической картой предусмотрено выполнение работ комплексным механизированным звеном в составе: автомобильный бетоносмеситель CБ-159А (ёмкость смесительного барабана по выходу готовой смеси =4,5 м ); электрическая виброрейка ЭВ-270А ( от 1,7 до 3,2 м, m=32 кг); передвижная бензиновая электростанция Honda ET12000 (=380/220 В, N=11 кВт, m=150 кг); вибротрамбовка TSS-HCR60K (Р=60 кг); автомобили-самосвалы КамАЗ-55111 (=13,0 т, V=6,6 м ); экскаватор-погрузчик JCB 3CX (=0,28 м , =5,46 м); экскаватор-планировщик UDS-114a (=0,63 м , =0,4 м , = 2,5 м); вибратор глубинный ИВ-47Б; бензопила STIHL MS 180-14 (=2,0 л.с., Р=3,9 кг, =35 см).

Bau-enginer

Планировка земляного полотна насыпей и выемок, конусов и откосов

Планировка площадей. Состав и виды работ по планировке грунтовых поверхностей по заданным отметкам устанавливается проектом в зависимости от назначения планируемых площадей в общих геометрических параметрах автомобильных дорог и аэродромов, их инфраструктуры.

При планировке грунтовых площадей для конструктивных элементов, непосредственно работающих под нагрузками (грунтовые покрытия аэродромов, грунтовые элементы дорожного комплекса, грунтовые части летного поля), в состав планировочных работ включают следующие технологические операции: выравнивание бульдозером с допустимым отклонением от проектных отметок ±10 см (предварительный этап планировки), уплотнение катками с одновременным выравниванием автогрейдером (окончательная планировка). При необходимости устройства дерново-травяных покрытий по спланированной поверхности нанесение и обработка почвенного слоя производится с учетом агротехнических требований к запланированному посадочному материалу.

При планировке грунтовых поверхностей для целей благоустройства, улучшения стока (рекультивированные выработки, территории между сооружениями, резервные площади) в состав работ включаются: выравнивание бульдозером или грейдером с нанесением при необходимости почвенного слоя заданной толщины, предусмотренной проектом.

Планировочные работы при сооружении земляного полотна включают: планировку основания перед началом отсыпки; планировку отсыпаемых слоев до уплотнения и после уплотнения с приданием поперечных уклонов; планировку обочин, конусов и откосов.

На предварительном этапе планировки применяются бульдозеры класса тяги 100-150 кН. Рабочие отметки предварительной планировки должны назначаться с учетом запаса объемов грунта на осадку при уплотнении, величина которого назначается по результатам пробного уплотнения. На участках, где грунты по трудности разработки не соответствуют бульдозерным работам, предварительно осуществляют рыхление грунта при помощи рыхлителей.

Окончательная планировка производится после завершения всех земляных работ и устройства коммуникаций. Планировка выполняется грейдерами или длиннобазовыми планировщиками в едином потоке с уплотнением катками. Допускаемые отклонения от проектных отметок устанавливаются в соответствии с требованиями СНиП 3.06.03-85 в зависимости от назначения планируемых поверхностей и площадок.

Планировка откосов. Основным действенным мероприятием, направленным на обеспечение местной устойчивости склонов и откосов, является укрепление их поверхности . Выбранные конструкции должны предотвратить или не допустить (а в некоторых случаях обеспечивать последовательно совместный эффект) развитие деформаций локального скольжения, оплывин, сплывов, эрозии.

Тип конструкции укрепления необходимо выбирать прежде всего в зависимости от общих задач, которые решаются для реализации намеченного принципа обеспечения устойчивости геотехнической системы «земляное полотно — элемент рельефа». Выбор конструкции обусловлен рабочей отметкой земляного полотна, крутизной склона или откоса, показателями физико-механических свойств грунтов, наиболее опасными погодно-климатическими воздействиями, а также гидрологическим режимом подтопления в случае подтопляемых склонов и откосов.

Все конструкции укрепления откосов и склонов в зависимости от их функции по защите грунта от внешних силовых и погодно-климатических воздействий могут быть разделены на три группы:

биологические типы , предназначенные для зашиты откосов и склонов от эрозии, сплывов, оплывин в районах с благоприятными грунтовыми и климатическими условиями;

несущие конструкции , предназначенные для компенсации сдвигающих усилий, возникающих в грунте поверхностных слоев откосов и склонов, а также силовых воздействий паводковых и поверхностных вод;

защитные и изолирующие конструкции , которые должны изолировать поверхностные слои грунта склона или откоса от температурных воздействий, впитывания атмосферных осадков, отводить грунтовые воды.

Для защиты склонов и откосов неподтапливаемых насыпей, сухих (нескальных) выемок в благоприятных климатических и грунтовых условиях, а также подтапливаемых насыпей при скорости течения менее 0,6 м/сек и в отсутствии волн в качестве основного типа укрепления рекомендуются конструкции первой группы. Дерновый покров следует использовать для укрепления откосов только при его наличии в непосредственной близости от строительного объекта и в случае экономической целесообразности.

Для укрепления склонов и откосов неподтапливаемых насыпей, сложенных глинистыми грунтами, легко выветривающимися скальными породами, грунтами особых разновидностей, переувлажненными грунтами, откосов подтапливаемых насыпей, а также выемок и склонов с водоносными горизонтами можно применять конструкции трех групп. Их комбинируют между собой в зависимости от инженерно-геологических условий строительства на основе технико-экономического сравнения вариантов с учетом времени действия защиты.

Основной принцип использования всех конструкций укрепления — обеспечить устойчивость и стабильность грунта в пределах активной зоны путем регулирования интенсивности ее образования и конечного значения при помощи защитных или изолирующих конструкций, несущих типов конструкций, компенсирующих уменьшение прочности грунта в пределах активной зоны; комбинацией этих способов.

Читайте так же:
Ремонт квартиры пластиковые откосы

Каждый из указанных типов конструкций имеет свою область применения в зависимости от типа склона, его предыстории, откоса земляного полотна и эффекта зашиты. Когда речь идет об укреплении откосов, особенно высоких насыпей, глубоких выемок или выемок, образованных в результате подрезки склона, то на их поверхности необходимо в кратчайшие сроки создать травяной покров, используя комплексные и комбинированные решения, например, решетчатые конструкции с гидропосевом трав при одновременной высадке кустарников, синтетические сетчатые материалы и др.

Решетчатые конструкции являются весьма действенным типом укрепления, обеспечивающим немедленный эффект зашиты. При этом следует иметь в виду, что выбор конструкций и технологии их строительства должен быть направлен на создание условий, препятствующих эрозии и выветриванию.

Окончательная планировка поверхности земляного полотна на отметках рабочего слоя (низа дорожной одежды) с приданием поперечных уклонов и доуплотнением поверхностного слоя, а также планировка и укрепление откосов насыпей производится после полного выполнения проектного очертания насыпи или выемки.

В зависимости от рабочей отметки планировка ведется путем срезки грунта бульдозером класса тяги 100 кН или автогрейдером тяжелого типа с откосником и удлинителем отвала, откосопланировщиком или экскаватором с двухотвальным скребком (планировочной рамой, ковшом). Выбор машин для планировки и уплотнения поверхности производится согласно табл. 2. Планировку подсыпкой на взрыхленную поверхность производят как исключение на малых площадях и при условии последующего уплотнения этих мест.

При планировке с одновременной срезкой грунта и перемещением его вниз на первом этапе выравнивают надоткосные площадки, оформляют бермы в соответствии с разбивкой. Сопряжение поверхности откоса с верхней площадкой земляного полотна выполняют на заключительном этапе.

Планировку откосов насыпей или выемок до 1,5 м осуществляют 2-4 проходами тяжелого автогрейдера или бульдозера с откосниками и удлинителями отвала. Срезаемый с откоса грунт используется для рекультивации боковых резервов или его собирают в штабели для перемещения в обочины насыпи, на съездах и других целей. При этом срезаемый грунт не должен мешать водоотводу.

МашиныВысота откоса, мКрутизна откосаПроизводительность в смену, м 2Потребность в машинах на 1000 м 2 откоса, маш.-смен
Планировка откосов
Бульдозер универсальный1-3,51:1,5 (1:2)70000,14
Бульдозер универсальный класса тяги 100 кН6-121:2 (1:3)8900-100000,10
Автогрейдер тяжелого типа с откосником и удлинителем отвала3,51:1,5 (1:2)50000,20
Экскаватор-планировщикдо 121:1,524000,42
6-101:1,532000,31
Уплотнение грунта
Виброкаток или виброплита, навешенные на стрелу экскаваторадо 61:1,5 (1:3)4250-50000,20
То же121:1,5 (1:2)5000-53000,20

Планировку откосов насыпей или выемок до 6 м осуществляют откосопланировщиком с нижней стоянки, а откосов до 12 м с верхней и нижней стоянок. Ширина планируемого участка откоса с одной стоянки должна быть не более 2 м, а перекрытие — 0,5 м. Планировка откосов от 6 м до 12 м ведется с использованием экскаватора-планировщика. Планировка откосов высотой более 12 м выполняется в процессе устройства каждого яруса.

Пологие откосы (крутизной 1:2 и положе) планируют с помощью бульдозеров, перемещающихся по откосу сверху вниз с принудительно опущенным отвалом (при гидравлическом управлении) или задним ходом снизу-вверх с отвалом, свободно опущенным на грунт (при канатном управлении). При этом его отвал не должен наполняться грунтом более чем на 2/3 высоты.

Для обеспечения уплотнения откосной части насыпей высотой более 6 м рекомендуется в процессе ее сооружения увеличивать ширину уплотняемых технологических слоев на 0,3-0,5 м с каждой стороны с последующей в процессе планировки срезкой лишнего грунта с откоса и перемещением его на последующие захватки.

2.2. Устройство конусов

Нарушение устойчивости конуса может произойти из-за подмыва его подошвы, из-за уменьшения сил трения между частицами грунта при намокании, при динамических (особенно сейсмических) воздействиях, а также из-за сдвигов в грунте основания конуса под действием сил веса самого конуса и временной нагрузки на насыпь. Необходимая устойчивость конуса обеспечивается достаточно пологими уклонами его откосов, отсыпкой конуса и прилегающего участка насыпи дренирующим грунтом (песок, гравий, в особых случаях — щебень), укреплением откосов. Тем же грунтом, что и конус, должен отсыпаться участок насыпи за устоем длиной поверху (считая от задней грани устоя) не менее высоты насыпи у устоя плюс 2 м, а понизу (в уровне естественной поверхности грунта) — не менее 2 м ([1], п. 1.72).

Предельно допустимая крутизна откосов конуса при высотах насыпей до 12 м в несейсмических районах регламентирована в п. 1.70 [1]. Для необсыпных устоев уклон откосов на высоту первых 6 м, считая сверху вниз от бровки насыпи, должен быть не круче 1:1,25, а на следующие 6 м — не круче 1:1,5. Если конус подтопляется в паводок выше этой границы, то уклон не круче 1:1,5 требуется назначать от верхней границы зоны подтопления конуса, т. е. от уровня воды при расчетном паводке (РУВВ).

Читайте так же:
Укладка брусчатки на бетонное основание технология

Для обсыпных устоев (а также устоев рамных и свайно-эстакадных мостов) при высоте насыпи до 12 м уклоны откосов конусов должны быть не круче 1 : 1,5 в пределах всего конуса.

При высоте насыпи более 12 м предельно допустимая крутизна откосов должна определяться расчетом конуса на устойчивость (с проверкой основания). При этом в случае необсыпного устоя она должна назначаться не круче 1:1,75 в пределах всего конуса или до более пологой его части (граница которой устанавливается расчетом или по конструктивным соображениям).

Для обсыпных устоев при высоте насыпи более 12 м действующие нормы вообще не дают никаких количественных рекомендаций. При курсовом проектировании на стадии составления вариантов уклоны откосов конусов высоких насыпей приходится назначать, руководствуясь только конструктивными соображениями.

Чтобы пояснить, как это можно сделать в эскизном проекте, необходимо остановиться на некоторых вопросах проектирования насыпей подходов и регуляционных сооружений (струенаправляющих дамб и др.). Высокие насыпи устраиваются в основном на подходах к мостам через судоходные реки, когда высота моста определяется высотой подмостовых габаритов в судоходных пролетах. На таких реках приходится обычно осуществлять серьезные мероприятия по регулированию пропуска воды под мостом в периоды паводков путем устройства струенаправляющих дамб и других регуляционных сооружений. Откосы этих сооружений и пойменных насыпей рассчитываются на воздействие ледохода, волн, течения воды и требуют усиленного крепления. Это относится и к откосам конусов.

Усиленное крепление откосов раньше осуществлялось путем устройства двойного мощения камнем. Сейчас такие откосы обычно укрепляют железобетонными плитами, бетонируемыми на месте. Верх усиленного крепления нижней части откоса должен быть защищен от разрушения, особенно под действием накатывающихся волн, способных подмыть крепление сверху. С этой целью усиленное крепление поднимается выше уровня наката волн на откос при высоком уровне воды. Кроме высоты наката волн необходимо учесть высоту подпора воды перед мостом, а также еще предусмотреть запас по высоте не менее 0,5 м ([1], п. 1.73). При определении высоты усиленного крепления ориентируются на высокие уровни воды, соответствующие наибольшим паводкам (НУВВ) — для мостов на железных дорогах общей сети или расчетным паводкам (РУВВ) — для остальных мостов. При дипломном проектировании подпор воды перед мостом обычно рассчитывается; высота наката волн на откос также может быть рассчитана (или задана руководителем). При курсовом проектировании возвышение верха усиленного крепления над НУВВ или РУВВ может быть условно принято равным: для больших мостов 3,0-3,5 м, для средних мостов 2,0 м.

С учетом изложенного можно высказать рекомендации по предвари­тельному назначению крутизны откосов конусов при высоких насыпях. По конструктивным соображениям изменение угла наклона откоса целесообразно сделать на уровне верха усиленного крепления. При необсыпном устое уклон откоса ниже линии перелома можно предвари­тельно назначать равным 1:2, а выше нее 1:1,75. В случае обсыпного устоя конус подвержен разрушающему воздействию льда и воды в значительно большей мере. Однако такие устои чаще всего и устраиваются при высо­ких насыпях, поскольку в этом случае решение в целом получается экономичнее, чем при устройстве необсыпного устоя. Конус обсыпного устоя может выполнять роль струенаправляющего сооружения (конус с уширением). Если же устраивается струенаправляющая дамба, то конус сливается с дамбой, которая как бы служит его основанием (рис. 3). Поэтому на уровне верха усиленного крепления откоса в обоих указанных случаях устраивается горизонтальная берма шириной 2-3 м (в случае устройства струенаправляющей дамбы (рис. 3) эта берма совмещается с горизонтальной площадкой по верху дамбы). Уклон откоса конуса ниже бермы назначается в пределах от 1:2 до 1:3, а в случае устройства дамбы уклон ее откоса со стороны русла реки назначается обычно 1:3 или еще более пологим. Выше бермы уклон откоса конуса может быть предварительно назначен 1:1,75.

Верхние части откосов конусов укрепляются одиночным мощением камнем или сборными бетонными или железобетонными плитами. Крепление откоса по подошве (в уровне естественной поверхности грунта) упирают в своего рода фундамент (упор), обычно представляющий собой рисберму трапецеидального сечения из камня. Укрепляется часто также и некоторая полоса горизонтальной поверхности основания вдоль подошвы откоса, чтобы исключить подмыв рисбермы.

Чтобы все работы по укреплению откосов могли быть выполнены с наименьшими затратами, конусы, пойменные насыпи, регуляционные сооружения располагают за пределами меженного русла реки (в пределах пойм). Это, в частности, является одним из условий (хотя обычно и не главным), определяющих минимальную величину отверстия моста и его расположение относительно меженного русла реки. Исключением являются случаи, когда в процессе строительства моста проводится регулирование русла реки (спрямление русла, устройство набережных), т.е. когда кроме строительства моста проводятся еще и специальные гидротехнические работы.

Читайте так же:
Отделка стены под кирпич своими руками

Что такое откос конуса

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР  = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Если сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171,  б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко   — кониками .

О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги.

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ  = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC   — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP  = АВ • РC. Имеем: ОР  = R (по условию); в  △ A OB : ОС  = ; в △ ОСР : CP  =  = .

Тогда S △ ABP  = АВ • РС  = .

Ответ: а) .

18.3.  Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4.  Изображение конуса

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5.  Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l  — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

Читайте так же:
Клей для потолочных плит из пенопласта

α   = .

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l  — вычисляется по формуле

S бок  = α • l 2 , (1)

где α  — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α  = , получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон  = π Rl  + π R 2 . (3)

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок  = π • BC • АВ.  Если D — середина отрезка АВ, то AB  = 2 AD, поэтому

S бок  = 2 π ВС • AD. (4)

Проведём DE  ⟂  АB ( E  ∈  l  = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

 = ⇒ BC • AD  = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок  = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6.  Свойства параллельных сечений конуса

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием  F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО  ⟂   β , α  ||  β , то α   ⟂  РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1  = α ∩ РО.  Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию с центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ  — произвольная образующая конуса, где Х  — точка окружности основания, то при гомотетии точка X отображается на точку X 1  = РX  ∩   α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

 =  = k, (*)

где k  — коэффициент гомотетии , т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k   =   PO 1   : Р О , где РO 1 и PO  — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ  = k 2  = : PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию